Dinámica de la Rotación Cuerpo Rigido

La dinámica de rotación es una su-brama de la física que estudia los movimientos de rotación de los sólidos en relación a las fuerzas que los provocan. La finalidad de este presente capitulo es analizar el comportamiento de los  cuerpos rígidos cuando giran al rededor de un determinado eje el cual puede sefijo o móvil. cuepos rigidos 

Cuerpo rígido

   Cuerpo rígido se  define como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir, un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian. 

            Energía Rotacional o Energía Cinética

  La energía rotacional: Es la energía cinética  de un cuerpo rígido , que gira en torno a un eje fijo. Esta energía depende del momento de inercia y de la velocidad angular del cuerpo. Mientras más alejada esté la masa del cuerpo respecto al eje de rotación, se necesitará más energía para que el cuerpo adquiera una velocidad angular. La energía rotacional es, entre otras cosas, de gran importancia para: turbinas, generadores, neumáticos,ruedas , ejes y hélices. 

Las expresiones para la energía cinética rotacional y lineal puede desarrollarse en paralelo desde el principio de trabajo-energía. Considera el siguiente paralelismo entre un par constante ejercido sobre un volante con momento de inercia (I), y una fuerza constante ejercida sobre una masa (m) ambas empezando desde el reposo.

                        

 

1. Para el caso lineal, empezando desde el reposo, la aceleración por definición es igual a la velocidad final dividida por el tiempo y la velocidad media es la mitad de la velocidad final, mostrando que el trabajo realizado por el bloque es igual a la energía cinética.
2.  Para el caso rotacional, también empezando desde el reposo el trabajo rotacional  es (tθ) y la aceleración angular α dada al volante, se obtiene de la Segunda Ley de Newton para la rotación.  La aceleración angular es igual a la velocidad angular (w),final dividido por el tiempo (t) y la velocidad angular media es igual a la mitad de la velocidad angular(w), final. De lo que sigue que la energía cinética rotacional dada al volante es igual al trabajo realizado por el par.

Teorema de los ejes paralelos (Steiner)

Este teorema nos da el momento de inercia de un cuerpo cuando el eje de rotación pasa paralelo a un eje de rotación que pasa por el centro de masas del cuerpo. Viene dado por la expresión siguiente:

    En donde (Icm) nos indica el momento de inercia cuando el eje pasa por el centro de masas (m) es la masa del cuerpo y (d) es la distancia entre el eje y el centro de masas del cuerpo

  

Cinemática de los sólidos

 La cinemática del sólido rígido es una aplicación de la cinemática al movimiento de un objeto tridimensional rígido en el espacio. El movimiento más general del sólido rígido puede considerarse como la superposición de dos tipos de movimiento básicos: de traslación y de rotación.

Movimiento de rodar sin deslizar

• En el movimiento de traslación, todos los puntos del sólido se mueven en trayectorias paralelas. La velocidad de un punto del sólido es la misma que la velocidad del centro de masas.

• En el movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas, la velocidad de un punto del sólido es proporcional la radio de la circunferencia que describe, su dirección es tangente a dicha circunferencia.

En el movimiento de rodar sin deslizar, existe una relación entre el movimiento de rotación y traslación. El punto de la rueda que está en contacto en un instante dado con el suelo tiene velocidad nula. Por tanto, se debe de cumplir que
Ecuaciones del movimiento

• Movimiento de traslación del centro de masa

• Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas

• ¿Cuál es la velocidad angular de rotación?

• Si la masa del asiento y del niño es de 50 kg. ¿Cuál es la tensión de la cadena?.

Solución:

Sustituimos la tensión T de la cuerda por sus componentes rectangulares

• Equilibrio en la dirección vertical

•  Aplicamos la segunda ley de Newton en la dirección horizontal

T·sin28=50·ω²(4+2.5·sin28)

• La velocidad angular de rotación cuando los centros de las esferas se encuentran en los extremos de la varilla.

• Hallar la energía cinética del sistema en los dos caso.

solución:

El movimiento general de un sólido rígido, es la composición de un movimiento de traslación del centro de masa y de un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa. En el movimiento de rodar sin deslizar, la rueda se traslada a la vez que gira.

v_c=ω R

La velocidad de traslación v_c es igual a la velocidad de rotación ω por el radio de la rueda R.

Sumando vectorialmente las dos velocidades podemos calcular la velocidad de cualquier punto P, que dista r del centro de una rueda de radio R, y que forma un ángulo φ, con la horizontal.

F=ma_c

F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre el sólido

M=I_cα

M es el momento de las fuerzas que actúan sobre el sólido.

Ejercicio n. 1

Un juego de un parque de atracciones consta de una plataforma circular de 8 m de diámetro que gira. De la plataforma cuelgan “sillas voladoras” suspendidas de unas cadenas de 2.5 m de longitud. Cuando la plataforma gira las cadenas que sostienen los asientos forman un ángulo de 28º con la vertical.

T·cos28=50*9.8

T·sin 28=50·a_n

Despejamos T=555 N,  y ω=1.0 rad/s.

Ejercicio n. 2

Dos esferas iguales de masas 6 kg y 20 cm de radio están montadas como se indica en la figura, y pueden deslizar a lo largo de una varilla delgada de 3 kg de masa y 2 m de longitud. El conjunto gira libremente con una velocidad angular de 120 rpm respecto a un eje vertical que pasa por el centro del sistema.

Inicialmente los centros de las esferas se encuentran fijos a 0.5 m del eje de giro. Se sueltan las esferas y las esferas deslizan por la barra hasta que salen por los extremos. Calcular:

Conservación del momento angular

I1=1123⋅22+2(256⋅0.22+6⋅0.52)  ω1=120⋅2π60=4π rad/sI2=1123⋅22+2(256⋅0.22+6⋅12)I1ω1=I2ω2  ω2=1.27π rad/s

Ejercicios resueltos: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/problemas/solido/rotacion/problemas/din_rotacion.html

http://perso.wanadoo.es/vicmarmor/efb_d_r.htm